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      XYcooper
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      ▯□☐Lintcode60 Search Insert Position 题解◘◊◘

       

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      本帖最后由 742510994 于 2017-10-26 19:54 编辑

      【题目描述】

      Given a sorted array and a target value, return the index if the target is found. If not, return the index where it would be if it were inserted in order.You may assume NO duplicates in the array.
      给定一个排序数组和一个目标值,如果在数组中找到目标值则返回索引。如果没有,返回到它将会被按顺序插入的位置。你可以假设在数组中无重复元素。

      【题目链接】
      www.lintcode.com/en/problem/search-insert-position/

      【题目解析】
      这道题目基本上就是对标准二分查找的细微修改,主要考察对于细节和边界情况的考虑把握。

      由于查找的是一个特定的位置,并且要在这个位置插入Target,并且保证新的序列仍然是有序的,不妨来看看给出的样例,分析一下具体的规则:
      [1,3,5,6], 2 → 1,这是最为普通的情况,由于1<2<3,直接插入在1和3的中间即可。
      [1,3,5,6], 5 → 2,这是已经存在了相同数字的情况,在这种情况下,应当插入到相同的数字之前。
      [1,3,5,6], 7 → 4,这是比所有数字都大的情况,插入到序列的最后
      [1,3,5,6], 0 → 0,这是比所有数字都小的情况,插入到序列的开始
      综上所述,我们可以得出这样的结论:
      如果Target < nums[0],即比所有数都小,则 Ans = 0
      否则,Ans = max{i | nums < Target} + 1,即“最大的小于Target的数”之后。
      对于第一种情况,我们可以轻松判断,而对于第二种情况,我们的问题就变成了如何寻找“最大的小于Target的数”。
      不妨用q(l, r)表示nums[l..r]中“最大的小于Target的数”,那么我们最终的答案就可以用q(0, size - 1) + 1来表示。
      而q(l, r)的求解可以用这样的方式来进行计算:
      不妨设 m = (l + r + 1) / 2,此时:
      如果 nums[m] < target,则“最大的小于Target的数”至少是nums[m],由于nums[l..m-1]均小于nums[m],所以可以知道l..m-1都不可能是答案(不可能是最大的),即q(l, r) = q(m, r)
      如果 nums[m] >= target,由于nums[r]>nums[r-1]>...>..>nums[m]>=target,可知m..r均不可能为答案(不小于Target),即q(l, r) = q(l, m - 1)
      在这样的处理过程中,我们每次可以将问题的规模缩小一半,所以最终我们一定会遇到一个问题q(l, r)满足l=r,此时我们就很容易知道,q(l, r)=l,则这也就是之前的所有问题的答案。

      【参考答案】
      www.lintcode.com/en/problem/search-insert-position/




      (责任编辑:XYcooper)
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